对这类反应，为什么需要递降温度序列的理由，已经作了概要说明，本文将叙述计算序列的方法。从数学上的要求来说，这是非等温最优化问题中最简单的问题。

       在前面的讨论中，问题是按反应的动力学和热力学间相互对立的要求而提出的，但是，在工业生产条件下，由于通常不会达到平衡，因而，完全按动力学项讨论似乎更好些。对放热反应可参考E＜E'这一实际情况进行讨论，这里E和E'分别代表正、逆反应的活化能。这个得到的不等式，意味着升高温度的作用，将是使逆反应速度的增加大于正反应速度的增加。要知道，这里是讨论产量问题，由此在接近反应器进口的部位，因已生成的产品还很少，这时为了加速正反应，温度就应该高些，以便提高单位反应器容积的产量。然而，随着仄应产品的不断积累，温度应予逐渐降低，因为，这样做的结果，是可使逆反应速度的减慢超过正反应速度的减慢。由此，按上所述，最优序列是温度从进口到出口逐渐降低的序列。

       现在要回答的问题是：为达到给定产量的产品，而使反应器的容积为最小（或催化剂量最小），此时在管式反应器的任一截面上的温度应为多少？

       从直观判断可以看出，这时的必要条件是在每一截面上的净反应速率（即正反应速率减去逆反应速率），必须是它可能的最大值。这一条件可证明如下：

G是质量流量，Vr是使反应器出口处产品组成达到ye所需的反应器容积。是在一定操作压力及一定的进口气体组成下的反应速率（沿反应器的压力降忽略不计。注意，此处仍假定为活塞流），它只是转化率和温度的函数。由此

r=f(y，T)

设Tm是对特定y值时，使r具有最大值rm时的温度T。从而对其他T值和同样的y值

1/r＞1/rm          （9．2）

因此

这必然是准确的，因为对同样的y值，被积函数1/r大于被积函数1/rm，当它们在相同的y值范围内比较其积分值时，同样的不等式亦必定适用。如今比较式（9．1）和（9．3），表明所有其他可能的Vr值，总是大于在反应器所有截面上均具有最大反应速率时所得到的值。简单地说，如果所选的T使系统中每处的局部反应速率为最大，则反应器的尺寸为最小。

       为简单起见，我们讨论具有下列化学计量关系的气体反应

A+B=C+D

并假定该反应速率可以下式表示

r=kab-k'cd

此处a，…，d是浓度。上式又可写成

如果把适当的Z、Z'、E和E'（E'＞E）值代入上式，对一定的a，…，d值，r能标绘成T的函数。其结果如图58所示。图中的三根曲线代表三组固定的浓度，及在相同的进入气体情况下导得；从曲线1至3转化率相应地增加。

       考察任一根曲线可见，反应速率最初随温度升高而增加，待达一最大值后就迅速下降，在温度为Te时速度变为零，对特定的浓度来说，这时处于热力学平衡状态。对所有大于Te的温度T，反应速率为负值，这是由于式（9．4）中等号右边的第二项已超过了第一项之故。

       前已指出，假使在各处的r均达可能的最大值时，反应器容积就将为最小，这就相当于图58中所示的极大值虚线轨迹，自右上角向左下角移动的过程。该轨迹的位置可由式（9．4）对T微分，并取（ər／əT）a,b,c,d为零而求得。

       但是，如果上述方法应用于管式反应器的操作条件时，就不很正确了，因为，这时的最大反应速率不是在一定体积浓度下的最大反应速率，而是在一定总压及一定转化率情况下的最大反应速率。

       假定A和B以等分子数量进入反应器，且又假定为活塞流动。如果z是在某截面处的转化率，则相应的分子分数为：A和B，1／2（1－z）；C和D，1／2z。假设气体混合物是理想气体，在该截面处的浓度

此处P和T分别为压力和温度。若把这些浓度公式代入式（9．4），得到

若把此式对T微分，并取导数等于零，便可获得最大速率的条件为：

这里Tm是最优温度。正如其他场合所作的假定那样，和exp（-E/RT）项相比，Z、Z'和温度的关系可以不必考虑，这样，上式经适当整理后可得

所以，对特定的反应如果动力学参数量Z、Z'、E及E'均已知，那么，经试差法解得该方程后，便可得到在任何转化率值下的最优温度。