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有效数字


铜臭 / 2022-07-08

 一、有效数字的概念

  为了取得准确的分析结果,不仅要准确进行测量而且还要正确记录与计算。所谓正确记录是指正确记录数字的位数。因为数据的位数不仅表示数字大小,也反映测量的准确程度。所谓有效数字,就是实际能测得的数字。
  有效数字保留的位数,应根据分析方法与仪器的准确度来决定,一般应使测得的数值中只有最后一位是可疑的,如果在分桥天平上称取试样0.5000克,这不仅表示试样具体的重量,还表示称量的准确程度。如将其重量记录成0.5克则表示该试样是在台秤上称量的。因此记录数据的位数不能任意增加或减少。如在上例中,在分析天平上,测得称量瓶的重量为10.4320克。这个记录说明有六位有效数字,最后一位是可疑的。因为分析天平只能称准到0.0002克。即称量瓶的实际重量应为 10.4320 +0,0002克。也就是说无论计量仪器如何精密其最后 一位数总是估计出来的。因此所谓有效数字就是只保留末- 位不准确数字,其余数字均为准确数字。同时从上例也可看出有效数字是和仪器的精密程度有关,即有效数字不仅表明数量大小,而且也反映测量的准确度。
二、有效数字中“0”的意义
  “0”在有效数字中有种种意义,一种是作为数字定位,另一种是有效数字。例如在分析天平上称量物质得到如下重量。
物质 称量瓶 Na₂CO₃
H₂C₂O₄
称量纸
重(克) 10.1430 2.1045 0.2104 0.0120
有效数字 六位 五位 四位 三位

  在以上数据中“0”所起的作用是不同的。在10.1430数字中,其中两个“0”都是有效数字,所以它有六位有效数字。在2.1045数字中的“0”也是有效数字,所以它有五位有效数字。在0.2104数字中,小数点前面的进0”是定位用的,在数字中间的“0”是有效数字,所以它有四位有效数字。在0.0120数字中,“1”前面的两个“0”都是定位用的,而末尾的“0”是有效数字,所以它只有三位有效数字。
   综上所述可 知数字之间的“0”业和数字末尾 的“0”都是有效数字,而数字前面所有的0只起定位作用。以“0”结尾的正整数,有效数字的位数不确定。例如4500这个数,不好确定可能为二位,三位,也可能是四位。遇到这种情况,应根据实际有效数字位数书写成:
  4.5x 10³                          二位有效数字
  4.50x10³                         三位有效数字
  4.500x 10³                      四位有效数字
  因此很大、很小的数字常用10的乘方表示。例如29700可表示 为2.97x 10⁴为三位有效数字,而0.0002970可表示为2.970x10⁻⁵为四位有效数字。有效数字确定后,在书写时一般只保留十位可疑数字,多余的数字采用四舍五入原则处理。         对于滴定管、 移液管和吸量管,它们都能准确测量溶液体积到0.01毫升,所以当用50毫升滴定管测量溶液体积时,如测量体积大于10毫升,应记录为四位有效数字,写成24.32毫升;如测量体积小于10毫升,应记录为三位有效数字8.13毫升。当用25毫升移液管移取溶液时,。应记录为25.00毫升,当用5毫升吸量管吸取溶液时,应记录为5.00毫升。
  当用250毫升容量瓶配制溶液时,则所配制溶液的体积应记录为250.0毫升。当用50毫升容量瓶配制溶液时,则应记录为50.00毫升。
  总而言之,测量结果所记录的数字,应与所用仪器测量的准确度相适应。
三、有效数字运算规则
  在上节中,根据仪器的准确度介绍了有效数字的意义,和记录原则。而在容量分析计算中,有效数字的保留更为重要。下面仅就加减和乘除法的运算规则加以讨论。
  1.加减法
  加减法运算中,保留有效数字的位数,以小数点后位数最少的为准。即绝对误差最大的为准,例如
  0.0121克+ 25.64克+ 1.05782克=?

  上面相加的三个数据中,25.64中的4已是可疑数。因此最后结果有效数字的保留应以此数为准即保留有效数字的位数到小数点后第二位。所以左面的写法是正确的,而右面的写法是不正确的。
  2.乘除法
  乘除法运算中,保留有效数字的位数,以位数最少的数为准,即以相对误差最大的数为准。例如
  0.0121 x 25.64X1.05782=?
  以上三个数的乘积应为:
  0.0121 X 25.6X1.06= 0.328
  在这个算题中三个数字的相对误差分别为:

  在上述计算中以第一个数的相对误差最大(有效数字为三位),应以它为准,将其它数字以四舍五入原则保留三位有效数字,然后相乘即得0.328结果。
  再计算一下结果0.328的相对误差:

  此数的相对误差与第一数的相对误差相适应。故应保留三位有效数字。
  如果不考虑有效数字保留原则,直接计算,     
  0.0121 ×25.64×1.05782=0.32818230808
  结果得到11位数字,显然是不合理的。
  同样在计算中也不能住意减少位数,如上述结果记为0.32也是不正确的,这个数的相对误差为:

  显然是超过了上面三个数的相对误差。
  3.自然数
  在定量分析运算中,有时会遇到一些倍数或分数的关系如:

  在这里分母3和2×1.008中的2不能看做为一位有效数字。因为它们是非测量所得到的数,是自然数,可视为无限有效。
  在定量的常量分析中一般是保留四位有效数字,但在中控分析中,只要求保留二位或三位有效数字。
 

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